The curriculum that my school uses for mathematics leans heavily into the newest shiny object in education, “productive struggle.” The thinking goes, students will learn more and that learning will stick better if they struggle to build meaning and arrive at the solutions in their own way. It assumes a baseline of knowledge. It assumes that students want to slog through things. It also assumes that there will be no students with IEPs that call for direct / explicit instruction of new topics and ideas. That’s a problem.
Take the complicated equation of a circle, for example. How would you explain it, directly and explicitly? The text we use doesn’t explain it. It presents it, then expects the students to productively struggle in finding meanings and applications. The data from unit assessments show that they’re not.
SpEd RSP to the rescue.
One of the things I struggle with as an RSP teacher who is working in my L2 (English) and is a Gestalt Language Processor (GLP) is differentiating on the fly. If I have the lesson ahead of time, I can provide structures and supports. But, rarely (if ever) do I get this information. Mostly, I’m in improv mode and I attempt to determine what the issues are, where the deficiencies lie, and what supports students need - and not just students with IEPs. We are a full inclusion school.
The problem.
The equation of a circle in Cartesian coordinates (x, y) can be written as:
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2.
Great. How on earth can you explain this to someone who lacks the appropriate scripts of background information? We need to answer this correctly, essentially installing these scriptural building blocks into our kiddos’ language processor so that their maths processor can get to work. Such is the intersection of language and maths instruction.
The solution.
Let’s give them something, some picture to hold in their imagination.
A circle is a two-dimensional geometric shape that is perfectly round. It is defined by a set of points that are all equidistant from a central point called the center of the circle. The distance from the center to any point on the circle is called the radius.
Remember that the equation of a circle in Cartesian coordinates (x, y) can be written as:
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
In this equation, (h, k) represents the coordinates of the center of the circle, and r represents the radius.
To understand this equation, let's break it down:
- The term (x - h) represents the horizontal distance of a point (x, y) from the center along the x-axis.
- The term (y - k) represents the vertical distance of the point (x, y) from the center along the y-axis.
In academic language terms, by squaring these distances and summing them, we get the sum of squares of the distances from the center. This sum should be equal to the square of the radius (r^2) for any point lying on the circle.
In simpler terms, the equation states that for any point (x, y) on the circle, if we subtract the x-coordinate of the center from the given x-coordinate, square the result, and do the same for the y-coordinate, the sum of these squares should be equal to the square of the radius.
In even simpler terms, the equation of a circle tells us that if we have a point (x, y) on the circle, we can find it by checking if the sum of the squared horizontal distance from the center (x-coordinate minus the x-coordinate of the center) and the squared vertical distance from the center (y-coordinate minus the y-coordinate of the center) is equal to the square of the radius.
When we square the distance, it means multiplying the distance by itself. In the context of the equation of a circle, we want to calculate the square of the distance from a point to the center of the circle.
For example, let's say we have a point (x, y) on the circle and the center of the circle is located at (h, k). Again, to find the squared horizontal distance from the center, we subtract the x-coordinate of the center (h) from the x-coordinate of the point (x), and then multiply the result by itself. Similarly, we do the same for the y-coordinate by subtracting the y-coordinate of the center (k) from the y-coordinate of the point (y), and then multiplying the result by itself.
By squaring the distances, we effectively get rid of any negative signs and ensure that the distances are positive values. This allows us to compare the squared distances with the squared radius in the equation to determine if a point lies on the circle or not.
Remember, by plugging in different values of (x, y) into this equation, we can determine if a point lies on the circle or not. If the equation holds true for a particular (x, y), it means that point is on the circle.
Curveballs
Working at at Title 1 school in Los Angeles, it’s not enough to just provide this script in English. The majority of my students’ L1 is Spanish. Thankfully, there are a ton of AI translators out there now. Here’s what happened when I asked my favourite tool to translate the script into Spanish (Mexico).
-Spanish-
Un círculo es una figura geométrica bidimensional que es perfectamente redonda. Se define por un conjunto de puntos que están equidistantes de un punto central llamado el centro del círculo. La distancia desde el centro hasta cualquier punto en el círculo se llama radio.
Recuerda que la ecuación de un círculo en coordenadas cartesianas (x, y) se puede escribir como:
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
En esta ecuación, (h, k) representa las coordenadas del centro del círculo y r representa el radio.
Para entender esta ecuación, vamos a desglosarla:
- El término (x - h) representa la distancia horizontal de un punto (x, y) desde el centro a lo largo del eje x.
- El término (y - k) representa la distancia vertical del punto (x, y) desde el centro a lo largo del eje y.
En términos académicos, al elevar al cuadrado estas distancias y sumarlas, obtenemos la suma de los cuadrados de las distancias desde el centro. Esta suma debe ser igual al cuadrado del radio (r^2) para cualquier punto que se encuentre en el círculo.
En términos más simples, la ecuación establece que para cualquier punto (x, y) en el círculo, si restamos la coordenada x del centro de la coordenada x dada, elevamos al cuadrado el resultado y hacemos lo mismo para la coordenada y, la suma de estos cuadrados debe ser igual al cuadrado del radio.
En términos aún más simples, la ecuación de un círculo nos dice que si tenemos un punto (x, y) en el círculo, podemos encontrarlo verificando si la suma del cuadrado de la distancia horizontal desde el centro (coordenada x menos la coordenada x del centro) y la distancia vertical al centro (coordenada y menos la coordenada y del centro) es igual al cuadrado del radio.
Cuando elevamos al cuadrado la distancia, significa multiplicar la distancia por sí misma. En el contexto de la ecuación de un círculo, queremos calcular el cuadrado de la distancia desde un punto hasta el centro del círculo.
Por ejemplo, supongamos que tenemos un punto (x, y) en el círculo y el centro del círculo está ubicado en (h, k). Nuevamente, para encontrar la distancia horizontal al cuadrado desde el centro, restamos la coordenada x del centro (h) de la coordenada x del punto (x) y luego multiplicamos el resultado por sí mismo. De manera similar, hacemos lo mismo para la coordenada y restando la coordenada y del centro (k) de la coordenada y del punto (y) y luego multiplicando el resultado por sí mismo.
Al elevar al cuadrado las distancias, eliminamos efectivamente cualquier signo negativo y nos aseguramos de que las distancias sean valores positivos. Esto nos permite comparar las distancias al cuadrado con el radio al cuadrado en la ecuación para determinar si un punto está en el círculo o no.
Recuerda que al sustituir diferentes valores de (x, y) en esta ecuación, podemos determinar si un punto está en el círculo o no. Si la ecuación es verdadera para un (x, y) en particular, significa que el punto está en el círculo.
-end-
But, there’s more. We have a Ukrainian refugee family in our area. One of their children attends my school. So, here’s the Ukrainian version of the script.
-Ukrainian-
Коло - це двовимірна геометрична фігура, яка є ідеально круглою. Воно визначається набором точок, які розташовані на однаковій відстані від центральної точки, що називається центром кола. Відстань від центру до будь-якої точки на колі називається радіусом.
Нехай нам відоме рівняння кола в декартових координатах (x, y):
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
У цьому рівнянні (h, k) позначають координати центра кола, а r - радіус.
Щоб зрозуміти це рівняння, розберемо його:
- Вираз (x - h) відображає горизонтальну відстань точки (x, y) від центру по осі x.
- Вираз (y - k) відображає вертикальну відстань точки (x, y) від центру по осі y.
У науковому висловлюванні, піднесення цих відстаней до квадрату та їхня сума дають суму квадратів відстаней від центру. Ця сума повинна бути рівна квадрату радіуса (r^2) для будь-якої точки, що лежить на колі.
Простіше кажучи, рівняння стверджує, що для будь-якої точки (x, y) на колі, якщо відняти від заданої x-координати центра x-координату і піднести отриманий результат до квадрату, аналогічно зробити з y-координатою, сума цих квадратів повинна дорівнювати квадрату радіуса.
Ще простіше кажучи, рівняння кола каже нам, що якщо ми маємо точку (x, y) на колі, ми можемо знайти її, перевіривши, чи рівна сума квадратів горизонтальної відстані від центру (x-координата мінус x-координата центра) та квадрату вертикальної
відстані від центру (y-координата мінус y-координата центра) квадрату радіуса.
Піднесення відстані до квадрату означає множення відстані на саму себе. У контексті рівняння кола ми хочемо обчислити квадрат відстані від точки до центру кола.
Наприклад, припустимо, що у нас є точка (x, y) на колі, а центр кола знаходиться у точці (h, k). Знову, для знаходження квадрату горизонтальної відстані від центру, ми віднімаємо x-координату центру (h) від x-координати точки (x), а потім множимо отриманий результат на себе. Аналогічно ми робимо з y-координатою, віднімаючи y-координату центру (k) від y-координати точки (y), а потім множимо отриманий результат на себе.
Піднесення до квадрату відстаней дозволяє нам позбутися будь-яких від'ємних знаків та гарантує, що відстані є позитивними значеннями. Це дозволяє нам порівнювати квадрати відстаней з квадратом радіуса у рівнянні, щоб визначити, чи лежить точка на колі чи ні.
Пам'ятайте, підставляючи різні значення (x, y) в це рівняння, ми можемо визначити, чи лежить точка на колі чи ні. Якщо рівняння виконується для певного (x, y), це означає, що точка лежить на колі.
-end-
To my mind, this support of the students’ L1 is vital. But, it runs contrary to American culture’s opinions about language. Here, the vibe is generally “speak English, son,” said loudly and slowly in the fashion of John Wayne. Elsewhere in the world, and especially at the Univ. of Toronto (where I did my language instruction coursework), the emphasis is on supporting the lifting of the students’ L1 to academic levels along with the learning of academic English. We don’t, after all, want to extinguish their L1 (for obvious reasons). Providing the scripts at the academic level of their L1 allows us to do just that. Plus, it took only a few minutes to find the script, load it into the translator, translate it, and print it out or post it to the school’s LMS.
Can you do it?
This type of differentiation is vital for students struggling with their maths work. It’s even more important that the differentiation be specific / explicit / direct when working with GLPs. Thus, the hyperlinks in my script that provide even more verbal scripts if the learner lacks the background on those important topics.
As an autistic GLP working in my L2, this type of differentiation is exhausting. I’m out of spoons at the end of each day supporting two classes of students struggling with a rigorous geometry curriculum … and 4 classes of students struggling with English language instruction. But I love what I do. I love learning and I love sharing what I learn with students … and I love learning together with students as well.
Whilst the corporate world seemingly believes there’s No Place for Autism, I’m glad that I found my place in education.